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因為從物理的功、力矩定義導入向量內積、外積概念,令人誤會沒有這兩個觀念就不能將解析幾何,由二度推到三度空間。及為什麼能用物理概念推論數學?
前言本書是針對高中生學習「向量」時,產生大量疑惑而寫的一部著作。高中數學課本從物理學的功、力矩的定義導入向量內積、外積的概念,造成學生極大的困惑,並誤以為僅能經由功、力矩的概念,才能推導出向量的內積與外積,這是相當大的錯誤認知。其中最大的問題是:
1. 如果沒有「功」和「力矩」的概念,就沒有「內積」和「外積」嗎?
2. 沒有「內積」和「外積」,就不能將解析幾何,由二度空間推廣到三度空間嗎?
3. 為什麼會用物理概念來推論數學,不是說數學是科學的語言嗎?
有鑑於此,作者從歷史演進說明及數學推導傳統解析幾何根本不需要「向量」的概念,就能夠推廣至三度空間,只是相當繁瑣而己。誠然物理學家創造了向量的概念,並啟發了數學家。換句話說,物理為了正確描述力學現象,建立一套數學語言,而後由數學家接手,建構了向量分析、線性代數,及希爾伯特空間(Hilbert Space),也就是n維度空間。但我們仍然不可以將數學與物理混為一談、這樣會導致兩者關係的混亂,誤會數學需要物理,事實上數學不需借助外力,本身就可說明清楚,也就是自圓其說。
作者在本書所要釐清的重點是:
1. 高中數學使用向量學習三度空間內容,是因為比傳統方法簡潔,而非必要,這個重點應該讓學生清楚知道,並讓學生知道數學不該存在破綻,一門演繹邏輯的科目,不該被誤解為歸納邏輯。
2. 本書依實際發生過的歷史進展過程詳加說明,徹底去除學生因課本的陳述方式,所產生的歷史錯亂與困惑感,如:柯西不等式、行列式、參數式。為了解決這種問題,本書將不屬於向量範疇的內容移除,以免學生誤會一定要先會向量才能學會那些內容,並了解傳統解析幾何就足以推導,但較為繁瑣,必須知道不用借助向量也可以推導。
3. 點出數學與物理之間的關係,數學是物理的語言,數學可以和物理緊密相關,也可能亳不相關。然而有趣的是,表面上和物理不相關的數學,竟然常常被物理學家或工程師使用在新的領域。有興趣的讀者可參考物理學家E...
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