平賭(機率論) | 就是愛看書
在機率論中,平賭(英語:martingale)是滿足下述條件的隨機過程:已知過去某一 時刻 s 以及之前所有時刻的觀測值,若某一時刻 t 的觀測值的條件期望值等於過去某一時刻 s 的觀測值,則稱這一隨機過程是平賭。而於博弈論中,平賭經常用來作為公平博弈的數學模型。
三維布朗運動(維納過程)平賭的原名「martingale」原指一類於18世紀流行於法國的投注策略,稱為加倍賭注法[1]。這類策略中最簡單的一種策略是為博弈設計的。在博弈中,賭徒會擲硬幣,若硬幣正面向上,賭徒會贏得賭本,若硬幣反面向上,賭徒會輸掉賭本。這一策略使賭徒在輸錢後加倍賭金投注,為的是在初次贏錢時贏回之前輸掉的所有錢,同時又能另外贏得與最初賭本等值的收益。當賭徒的財產和可用時間同時接近無窮時,他擲硬幣後硬幣正面向上的機率會接近1,由此看來,加倍賭注法似乎是一種必然能贏錢的策略。然而,賭金的指數增長最終會導致使用這一策略的賭徒破產。
平賭的概念首先是由保羅·皮埃爾·萊維於1934年提出的,但他只提出了離散時間的版本,而且沒有給予命名。直到1939年,約翰·維爾將此概念推廣到連續時間的情況,並且首次提出「martingale」這個名稱。約瑟夫·利奧·杜布等人在平賭的相關理論的初期發展做出重大貢獻,而完成這些工作的部分動機是為了表明成功的投注策略不可能存在。此外,伊藤清在分析應用方面作出了重要的貢獻。從1970年代開始,平賭論就在純粹數學和應用數學的很多領域中有廣泛的應用,特別是在數學物理和金融數學中。
離散時間平賭[編輯]離散時間平賭是對於所有 n 都滿足
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